有理関数における基本的な積分テクニック
- 分子の次数 ＜ 分母の次数 にする
- 平方完成で\(( )^2 + 1\)の形にする
- \(x^4 + 4 = (x^2 + 2)^2 -4x^2\)の変形で次数下げ
- 部分分数分解や係数比較の式変形
- \(I = \int R(\sin x, \cos x) dx\) のときは \(t = \tan \frac{x}{2}\) とおいて、
- \(I = \int R(\tan x) dx \)なら、\( t = \tan x \)とおいて、
\(\sin x = 2\sin{\frac{x}{2}} \cos{\frac{x}{2}} = 2\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}} \cos{\frac{x}{2}} = 2 \tan{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\tan^2{\frac{x}{2}} + 1} = \frac{2t}{1 + t^2}\)
\(\cos x = 2\cos^2{\frac{x}{2}} – 1 = 2 \frac{1}{\tan^2{\frac{x}{2}} + 1} – 1 = \frac{1 – t^2}{1 + t^2}\)
また、\(\cos x = 2\cos^2{\frac{x}{2}} – 1 = 2 \frac{1}{\tan^2{\frac{x}{2}} + 1} – 1 = \frac{1 – t^2}{1 + t^2}\)
\(dt = \frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}} \cdot \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2}(\tan^2{\frac{x}{2}} + 1)dx\)
\(よって dx = \frac{2}{1 + t^2} dt\)
\( dt = \frac{1}{\cos^2{x}} dx = (\tan^2 x + 1) dx\)
\(よって dx = \frac{1}{t^2 + 1} dt\)
\(\frac{dx}{dt}\)を求めるときはアークタンジェントの方が楽かもしれませんが、一応使わない方を書いておきました。
無理関数における積分方針
- \(I = \int R(x,\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}) dx\) \((cx+d \neq 0)\)なら、\(t = \sqrt\frac{ax+b}{cx+d} \)とおく。
- \(I = \int R(x,\sqrt{x^2 + bx + c}) dx\) なら、\(t = x + \sqrt{x^2 + bx + c}\)とおく。
- \(I = \int R(x,\sqrt{-x^2 + bx + c}) dx\) なら、
\(-x^2 + bx + c = (β – x)(x – α) (α x β)\)
と因数分解できるので\(\sqrt{-x^2 + bx + c} = (β – x)\sqrt{\frac{x – α}{β – x}}\) の変形により、先の積分の形に帰着される。
つまり \(t = \sqrt\frac{x – α}{β – x}\)とおく。
\(x^2 \pm 定数\) の形の対処方法
アークサインかアークタンジェントをまず考えて、それでできないときは公式を覚えておいて使ったり、置換積分を行うという気持ちでいるのがよい思います。
参考 積分公式一覧 | 高校数学の美しい物語高校数学の美しい物語
