PythonによるPDFの各操作のまとめ記事をつくりました

【大学定期試験対策】積分テクニックまとめ【積分】

有理関数における基本的な積分テクニック

  • 分子の次数 < 分母の次数 にする
  • 平方完成で\(( )^2 + 1\)の形にする
  • \(x^4 + 4 = (x^2 + 2)^2 -4x^2\)の変形で次数下げ
  • 部分分数分解や係数比較の式変形
  • \(I = \int R(\sin x, \cos x) dx\) のときは \(t = \tan \frac{x}{2}\) とおいて、
  • \(\sin x = 2\sin{\frac{x}{2}} \cos{\frac{x}{2}} = 2\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}} \cos{\frac{x}{2}} = 2 \tan{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\tan^2{\frac{x}{2}} + 1} = \frac{2t}{1 + t^2}\)
    \(\cos x = 2\cos^2{\frac{x}{2}} – 1 = 2 \frac{1}{\tan^2{\frac{x}{2}} + 1} – 1 = \frac{1 – t^2}{1 + t^2}\)
    また、
    \(dt = \frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}} \cdot \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2}(\tan^2{\frac{x}{2}} + 1)dx\)
    \(よって dx = \frac{2}{1 + t^2} dt\)

  • \(I = \int R(\tan x) dx \)なら、\( t = \tan x \)とおいて、
  • \( dt = \frac{1}{\cos^2{x}} dx = (\tan^2 x + 1) dx\)
    \(よって dx = \frac{1}{t^2 + 1} dt\)

\(\frac{dx}{dt}\)を求めるときはアークタンジェントの方が楽かもしれませんが、一応使わない方を書いておきました。

無理関数における積分方針

  • \(I = \int R(x,\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}) dx\) \((cx+d \neq 0)\)なら、\(t = \sqrt\frac{ax+b}{cx+d} \)とおく。
  • \(I = \int R(x,\sqrt{x^2 + bx + c}) dx\) なら、\(t = x + \sqrt{x^2 + bx + c}\)とおく。
  • \(I = \int R(x,\sqrt{-x^2 + bx + c}) dx\) なら、
  • \(-x^2 + bx + c = (β – x)(x – α) (α < x < β)\)
     と因数分解できるので
    \(\sqrt{-x^2 + bx + c} = (β – x)\sqrt{\frac{x – α}{β – x}}\) の変形により、先の積分の形に帰着される。
    つまり \(t = \sqrt\frac{x – α}{β – x}\)とおく。

\(x^2 \pm 定数\) の形の対処方法

アークサインかアークタンジェントをまず考えて、それでできないときは公式を覚えておいて使ったり、置換積分を行うという気持ちでいるのがよい思います。

参考 積分公式一覧 | 高校数学の美しい物語高校数学の美しい物語

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