今回は、定数係数2階線形非同次微分方程式のうち初期値が与えられている問題に対して使える解き方を1つ紹介します。もしかしたら理系大学生の期末試験対策としてそのまま使えるかもしれません。
\(y” + py’ + qy = f(x)\)の解き方
ただし、初期条件は\(y(x_{0})=a, y'(x_{0})=b\)です。
STEP.1
補助方程式の初期値問題の解U(x)を求める
\(\begin{cases}y” + py’ + qy = 0 \\y(x_{0})=a, y'(x_{0})=b \end{cases}\) の解を\(U(x) = a u_{1}(x) + b u_{2}(x)\)の形にする。
STEP.2
次の積分を計算し、y_{0}を求める
\(y_{0}(x) = \displaystyle \int_{ x_{0} }^{ x } u_{2}(x+x_{0}-s)f(s) ds\)
STEP.3
解はy = U(x) + y_{0}となる
\(y = au_{1}(x) + bu_{2}(x) + \displaystyle \int_{ x_{0} }^{ x } u_{2}(x+x_{0}-s)f(s) ds\)
これを計算するだけです。補助方程式の解き方はこちらの記事で解説しています。
【大学期末試験対策】定数係数2階線形同次微分方程式の解き方【簡単】
実際に計算してみるとSTEP.2の積分が面倒になる場合が多いのですが、\(f(x)\)が整式や三角関数の場合は瞬間部分積分などの活用で対応できると思います。