今回は定数係数2階線形同次方程式の解き方を紹介します。非常に簡単なのですが、2階の非同次方程式を解くときに補助方程式を解く必要があることがあるので紹介します。
\(y” + py’ + qy = 0\)の一般解の求め方
\(α,β\)が実数のとき（\(α\neqβ\)）
\(y = C_{1}e^{αx} + C_{2}e^{βx}\)\(α=β\)で重解のとき
\(y = (C_{1}x + C_{2})e^{αx}\)\(α=λ+iμ, β=λ-iμ\)の複素数解のとき
\(y = e^{αx}(C_{1}\cos μx + C_{2}\sin μx)\)\(α,β\)が特性方程式の解であることを忘れないようにしましょう。
これを覚えるだけで一般解が求められます(∩´∀｀)∩
よければこちらも見ていってください。
【大学期末試験対策】2階の微分方程式（初期値問題）の解き方の一つを紹介
練習問題
\(y” + y’ – 6y = 0\)
解）特性方程式 \(t^2 + t – 6 = 0\) を解くと、\(t=-3, 2\)
よって一般解は \(y = C_{1}e^{-3x} + C_{2}e^{2x}\)
\(y” – 4y’ + 4y = 0\)
解）特性方程式 \(t^2 – 4t + 4 = 0\) を解くと、\(t=2（重解）\)
よって一般解は \(y = (C_{1}x + C_{2})e^{2x}\)
\(y” + 2y’ + 5y = 0\)
解）特性方程式 \(t^2 + 2t + 5 = 0\) を解くと、\(t=-1 \pm 2i\)
よって一般解は \(y = e^{-x} (C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x)\)
ただし、\(C_{1}, C_{2}\)は任意定数である。
このように解ける理由は？
微分方程式 \(y” + py’ + q = 0\) を解くことを考えます。
まず、2階微分方程式なので \(y = e^{αx}\) の形の解を持つと考えられます。
この仮定が正しければ、与式を満たすはずなので、\((α^2 + pα + q)e^{αx} = 0\) すなわち \(α^2 + pα + q = 0 \) を満たすはずです。
つまり特性方程式 \(t^2 + pt + q = 0\) の解が\(α\)であるとみることができますね。そして、\(e^{αx}\)は与えられた微分方程式の解になります。