期待値の変形
定義:定義(離散):X = x_iとなる確率がp_iのとき
\[E(X) = \sum_{i=1}^n p_i x_i\]
期待値の線形性:
- \(E[a] = a\)
- \(E[X + a] = E[X] + a\)
- \(E[aX] = aE[X]\)
2つの確率変数について:
- \(E[X + Y] = E[X] + E[Y]\)
- \(E[X ~- Y] = E[X] ~- E[Y]\)
- 独立なら:\(E[XY] = E[X]E[Y]\)
分散の変形
定義:\(V[X] = E[(X ~- E[X])^2] = \sum_{i=1}^n p_i (x_i ~- E[X])^2\)
よく使う変形:
- \(V[aX] = a^2 V[X]\)
- \(V[X + a] = V[X]\)
- \(V[X] = E[(X ~- E[X])^2] = E[X^2] ~- E[X]^2\)
- \(V[X + Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov(X, Y)\)
- \(V[X ~- Y] = V[X] + V[Y] ~- 2Cov(X, Y)\)
独立なら共分散\(Cov(X, Y)\)は0です。
共分散の変形
\begin{align*} Cov(X, Y) &= E[(X~- E[X])(Y~- E[Y])] \\ &= E[XY] ~- E[X]E[Y] \end{align*}この定義より、\(XやY\)に係数がついても期待値の線形性で変形できます。
\(XとY\)が独立なら\(E[XY] = E[X]E[Y]\)なので共分散\(Cov(X, Y)\)は0になります。
また、相関係数\(\rho\)は
\[\rho = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{V[X]}\sqrt{V[Y]}}\]
と計算されます。