PythonによるPDFの各操作のまとめ記事をつくりました

確率統計でよく使う式変形まとめ

期待値の変形

定義:定義(離散):X = x_iとなる確率がp_iのとき

\[E(X) = \sum_{i=1}^n p_i x_i\]

期待値の線形性:

  • \(E[a] = a\)
  • \(E[X + a] = E[X] + a\)
  • \(E[aX] = aE[X]\)

2つの確率変数について:

  • \(E[X + Y] = E[X] + E[Y]\)
  • \(E[X ~- Y] = E[X] ~- E[Y]\)
  • 独立なら:\(E[XY] = E[X]E[Y]\)

分散の変形

定義:\(V[X] = E[(X ~- E[X])^2] = \sum_{i=1}^n p_i (x_i ~- E[X])^2\)

よく使う変形:

  • \(V[aX] = a^2 V[X]\)
  • \(V[X + a] = V[X]\)
  • \(V[X] = E[(X ~- E[X])^2] = E[X^2] ~- E[X]^2\)
  • \(V[X + Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov(X, Y)\)
  • \(V[X ~- Y] = V[X] + V[Y] ~- 2Cov(X, Y)\)

独立なら共分散\(Cov(X, Y)\)は0です。

共分散の変形

\begin{align*} Cov(X, Y) &= E[(X~- E[X])(Y~- E[Y])] \\ &= E[XY] ~- E[X]E[Y] \end{align*}

この定義より、\(XやY\)に係数がついても期待値の線形性で変形できます。

\(XとY\)が独立なら\(E[XY] = E[X]E[Y]\)なので共分散\(Cov(X, Y)\)は0になります。

また、相関係数\(\rho\)は

\[\rho = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{V[X]}\sqrt{V[Y]}}\]

と計算されます。

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