PythonによるPDFの各操作のまとめ記事をつくりました

表現行列と基底を変換する行列

基底の変換

体K上のn次元線形空間Vの2つの基底

\[ \langle e_1 , ~\cdots , e_n \rangle ~, ~~~ \langle e_1^{‘} , ~\cdots , e_n^{‘} \rangle \]

に対して、基底の変換をするn次正則行列Bは

\[ ( e_1^{‘} , ~\cdots , e_n^{‘} ) = ( e_1 , ~\cdots , e_n ) B \]

の関係で表せます。

表現行列

線形変換\(f : V \rightarrow V\)のn次正方の表現行列Aは

\[ f(\boldsymbol{v}) = ( f(e_1) \cdots f(e_n) ) \boldsymbol{x} = ( e_1 , ~\cdots , e_n ) A \boldsymbol{x} \]

の関係で表せます。ただし\(\boldsymbol{x} \in K^{n}\)は基底\( \langle e_1 , ~\cdots , e_n \rangle \)に関する成分です。

つまり \(\boldsymbol{v} \in V\) に対して\( \boldsymbol{v} = (e_1 , ~\cdots , e_n) \boldsymbol{x} \)とかけます。

同様にして

\[ f(\boldsymbol{v}) = ( f(e_1^{‘}) \cdots f(e_n^{‘}) ) \boldsymbol{y} = ( e_1^{‘} , ~\cdots , e_n^{‘} ) A^{‘} \boldsymbol{y} \]

とすると、\(\boldsymbol{x} = B \boldsymbol{y}\) と \( A^{‘} = B^{-1} A B \)の関係があります。

また、

n次元で基底が\(\langle \boldsymbol{u_1} , ~\cdots , \boldsymbol{u_n} \rangle\)の線形空間V
m次元で基底が\(\langle \boldsymbol{v_1} , ~\cdots , \boldsymbol{v_n} \rangle\)の線形空間W

これらの基底に関する線形写像\(f : V \rightarrow W\)の表現行列Aは

\[ \left( f(\boldsymbol{u_1}) \cdots f(\boldsymbol{u_n}) \right) = ( \boldsymbol{v_1} \cdots \boldsymbol{v_n} ) A \]

の関係で表せます。成分は省略しています。

uで表されるものをfで写像したものをvで表すとみればわかりやすい気がします。

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